平面に1本の線を引く。こうして｢世界｣は2つの部分に分けられる。この｢線｣は、｢リーマン球面」上の円、と考えて差し支えない。リーマン球面上のすべての閉曲線は、元の平面の閉曲線に投影される。ただ、リーマン球面上の｢大円｣、つまり球と同じ半径の円、だけは、元の平面の無限直線に対応する！、ことに気づいた。大袈裟にリーマン球などを持ち出してみたが、その後あまり展開がなさそうなので、ふたたび、無限に広がる平面で考えることにして、お茶を濁すことにした。。
次に、この｢線｣上の異なる2点を結ぶ曲線を描く。そうすると、そこに3番目の部分が現れる。以下同様のことを繰り返し、どこで｢変化｣が生じるのかを見ることにした。
曲線を追加する際に、必ず、その「結び目」が｢三叉路｣になるように注意する。
そうではなく、このように｢十字路｣型につなぐと、十字路を挟んだ対岸が接触しないことになってしまうから、だ。いずれは接触できない部分は現れる、だが、回避できるだけ回避する、そうすれば｢接触できない｣ことの｢理由｣に近づくことができるだろう、という目算なのである。
トポロジー(位相幾何学)では、｢グラフ｣上の頂点に奇数個の辺がつながっている｢奇頂点｣であるか？、偶数この頂点がつながっている｢偶頂点｣であるか？、が重要な意味を持つそうなのである。
たとえば、
[
定理
]グラフGが一筆書きできる必要十分条件は、Gのすべての頂点が偶頂点、あるいはGがちょうど2つの奇頂点を持つことである。さらにすべてが偶頂点である場合は任意の頂点から出発し、その点に戻ってくる経路があり、奇頂点2つの場合は、その片方の奇頂点から出発し、もう一方の奇頂点で終わる経路がある。
｢はじめてのトポロジー｣瀬山士郎(PHPサイエンスワールド新書)
この｢一筆書き｣問題も、ここでの｢世界｣を｢部分｣に分ける境界線についてなのか？、分けられた｢部分｣に取られた1点をつなぐ｢グラフ｣についてなのか？、それはどっちかよくわからないが、大いに関係ありそうに思われるのだけれど、・・・、やはり｢予感｣に終わってしまったようだから、打っちゃっておくことにする。
そう、そういえば、ここ沖縄では、｢三叉路｣には魔物が棲む、と言われていて、そういう場所には｢石敢当」と書かれたお守りのような札が、貼られているのだ。うちの路地を出たところも三叉路で、そういえば、闇夜、かどうかは記憶にないが(笑)、見たこともない子猫が忽然と現れ、何年来の親友であるかの如くに馴れ馴れしく纏わり付いてきて、・・・、その愛らしさに困惑し、愚かにも拾ってしまったことが、何度かあった。モモさん♪、ちっこい♪、は、そうしてうちの子になった。
左、モモさん♪、右、ちっこいさん♪
で、そうやって｢三叉路｣を付け加えては｢部分｣を増やしていくと、4つまでは、そこからどの2つの｢部分｣を取り出しても互いに隣接している、と言う関係を保てるのに、5つになるや、これがどうしてもできなくなってしまう。そこまではもう何度も話した。なにやらそれは重大な数学史上の難問で、どうして出来ないか？、の証明が、出来ないんだそうである。だったら私のような凡人の出る幕ではないに決まっているのだが、凡人は凡人なりに、そこに何か｢意味｣を見出したくて仕方なく、ここ数日、そればかり考えている。くどいけれど付け加えておけば、・・・、もちろんそれは｢逃避｣なのであって、人間もっと｢考え｣なければならない人生の重大事があるはずだろ？、いや、それを考えな・い・ためにこそ、頭の中を、｢1次元ベッチ数｣だので満たしておかなければならないのである。
右のように、各｢部分｣に一つずつの点をとり、これを線でつなごうと思う。ただし、その線は他の｢部分｣を通過してはならない。そうすると、｢部分｣同士が隣接している、と言う事実を、線が引ける、と言う事実にすりかえることができる。で、その点と線でできた図形を聞きかじり｢トポロジー｣で、グラフとみなして、1次元ベッチ数とやらを計算してみたものの、とくにクリアな発見はできなかったわけだ。
そろそろ飽きてきたし、いつまでもこんなことに｢没頭｣している振りをするわけにもいかないので(笑)、少しは絵になる結末をつけて、終わりにしたい。
右の図の｢線｣が、ぐにゃぐにゃのゴム上のものでできているとして、・・・、トポロジーってのが、なにやらやたら「ぐにゃぐにゃの」変形によって、意外なつながりを発見する学問であるらしいことは、われながら少しは理解されてきたようではある、・・・、それを変形してみる、場合によっては、どこかを｢持ち上げて｣立体にしてみる。
3つの｢部分｣からは、三角形ができる。
4つの｢部分｣からは、四面体ができる。
5つの｢部分｣からは、す・べ・て・の・面が三角形でできた六面体ができる。
6つの｢部分｣からは、八面体ができる。これも、すべての面が三角形である。
すべての面が三角形でなければ、そこには隣接していない｢部分｣があることになる。上の5つの「部分」で、｢三叉路｣でつなげるルールに反してしまうと、同じく5頂点の立体なのだが、四角錐になる。底面が三角形でないから、もう一つ、隣接しないペアが生じてしまうのだ。
ところで、表面がすべて三角形であっても、5、6の場合は、やはり隣接しない｢部分｣のペアが生じている。
で、わかった！(笑)
四角形がどうして｢いけない｣のだ？、それは、対角線があるからだ！、｢この世｣でただ一つ、対角線を持たない平面図形は、三角形なのであった。
どうして4までなのだ？、やはり、今度は立体の内部に、対角線があるからだ！、表面に出てこない対角線がある、と言うことが、結ばれない点のペアがある、と言うことに対応している！
そして、またしても｢この世｣でただ一つ、対角線を持たない立体図形は、四面体、なのである。
戻る
